Distribuciones Continuas

Integrantes: 

Marco Antonio Barrón CardielMaricarmen Romero Martínez

DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADA (X²)

En realidad la distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de s². O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas.

Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X². Si se elige una muestra de tamaño n de una población normal con varianza 

 , el estadístico:

tiene una distribución muestral que es una distribución ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se denota X2 (X es la minúscula de la letra griega ji). El estadístico ji-cuadrada esta dado por:

donde n es el tamaño de la muestra, s² la varianza muestral y la varianza de la población de donde se extrajo la muestra. El estadístico ji-cuadrada también se puede dar con la siguiente expresión:

Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada 

1.      Los valores de X² son mayores o iguales que 0.

2.      La forma de una distribución X² depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X².

3.      El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.

4.      Las distribuciones X² no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.

5.      Cuando n>2, la media de una distribución X² es n-1 y la varianza es 2(n-1).

6.      El valor modal de una distribución X² se da en el valor (n-3).

La siguiente figura ilustra tres distribuciones X². Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) = (gl-2).

La función de densidad de la distribución X² esta dada por:

para x>0

La tabla que se utilizará para estos apuntes es la del libro de probabilidad y estadística de Walpole, la cual da valores críticos (gl) para veinte valores especiales de  . Para denotar el valor crítico de una distribución X ² con gl grados de libertad se usa el símbolo  (gl); este valor crítico determina a su derecha un área de  bajo la curva X² y sobre el eje horizontal. Por ejemplo para encontrar X²_0.05(6) en la tabla se localiza 6 gl en el lado izquierdo y  a o largo del lado superior de la misma tabla.

  

Cálculo de Probabilidad

El cálculo de probabilidad en una distribución muestral de varianzas nos sirve para saber como se va a comportar la varianza o desviación estándar en una muestra que proviene de una distribución normal.

Ejemplos:

1.-Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.

Solución:

Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s²=2 como sigue:

El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s²>2)

Estimación de la Varianza

Para poder estimar la varianza de una población normal se utilizará la distribución ji-cuadrada.

Al despejar esta fórmula la varianza poblacional nos queda:

Los valores de X² dependerán de nivel de confianza que se quiera al cual le llamamos . Si nos ubicamos en la gráfica se tiene: 

La distribución Normal

El modelo de distribución Normal es el más utilizado en Estadística, ya que:

a) Muchas distribuciones de datos reales pueden ser representadas por la distribución Normal.

b) Tiene propiedades que la hacen especialmente útil.

c) Representa la distribución de muchos de los acontecimientos que ocurren al azar.

 En realidad, el nombre de Normal proviene del hecho de que durante un tiempo se creyó, por parte de médicos y biólogos, que todas las variables naturales de interés seguían este modelo.

Su función de densidad viene dada por la fórmula:

que, como vemos, depende de dos parámetros μ (que puede ser cualquier valor real) y σ (que ha de ser positiva). Por esta razón, a partir de ahora indicaremos de forma abreviada que una variable X sigue el modelo Normal así: X ~ N(μ, σ). Por ejemplo, si nos referimos a una distribución Normal con μ = 0 y σ = 1 lo abreviaremos N(0, 1).

A continuación presentamos la gráfica de esta función de densidad (donde se pueden cambiar los parámetros):

Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa porN(μ, σ). Su gráfica es la campana de Gauss:

El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.

Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

Propiedades del modelo Normal

1.     Su esperanza es μ.

2.     Su varianza es σ² y, por tanto, su desviación típica es σ.

3.     Es simétrica respecto a su media μ, como puede apreciarse en la representación anterior.

4.     Media, moda y mediana coinciden (μ).

5.     Cualquier transformación lineal de una variable con distribución Normal seguirá también el modelo Normal. Si X ~ N(μ, σ) y definimos Y = aX + b (con a ≠ 0), entonces Y ~ N(aμ + b, |a|σ). Es decir, la esperanza de Y será aμ + b y su desviación típica, |a|σ.

6.     Cualquier combinación lineal de variables normales independientes sigue también una distribución Normal. Es decir, dadas n variables aleatorias independientes con distribución X_i ~ N(μ_i, σ_i) para i = 1, 2, ..., n la combinación lineal: Y = a_nX_n + a_n−1X_n−1+ ... + a₁X₁ + a₀ sigue también el modelo Normal:

Distribución normal estándar

N(0, 1)

La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1.

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura.

Tipificación de la variable

Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).

La Distribución T de Student

En la generalidad de los casos, no disponemos de la desviación standard de la población, sino de una estimación calculada a partir de una muestra extraída de la misma y por lo tanto no podemos calcular Z.

En estos casos calculamos el estadístico T:

T=μ−xs

con

s=∑(x−xi)2n−1−−−−−−−−−−√

donde S es la desviación standard muestral, calculada con n-1 grados de libertad.

Utilizamos S, la Desviación Standard de una Muestra, en lugar de μ, la Desviación Standard de la Población.

El estadístico T tiene una distribución que se denomina distribución T de Student, que está tabulada para 1, 2, 3, ... etc. grados de libertad de la muestra con la cual se calculó la desviación standard. La distribución T tiene en cuenta la incertidumbre en la estimación de la desviación standard de la población, porque en realidad la tabla de T contiene las distribuciones de probabilidades para distintos grados de libertad.

La distribución T es mas ancha que la distribución normal tipificada Para un número de grados de libertad pequeño. Cuando los grados de libertad tienden a infinito, la distribución T tiende a coincidir con la distribución normal standard. Es decir, en la medida que aumentemos el número de observaciones de la muestra, la desviación standard calculada estará mas próxima a la desviación standard de la población y entonces la distribución T correspondiente se acerca a la distribución normal standard. El uso de la distribución T presupone que la población con que estamos trabajando tiene una distribución normal.

 La distribución t es útil para realizar inferencias acerca de la media poblacional cuando no se conoce s y la población es normal, independiente del n, no obstante, aún cuando la distribución sea un tanto sesgada, la t sigue siendo apropiada, esto se conoce como una distribución robusta, es decir, a cambios moderados de los supuestos, el modelo sigue siendo valido. Como en el caso de la distribución normal, ésta distribución también usa valores tabulados, tal como se aprecian en la tabla precedente, teniendo en cuenta, que a medida que los g.l aumenten los valores tienden a ser igual a los encontrados en la tabla Z.

Ejemplo

 La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen media μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una muestra de tamaño n=25 , la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm: 

P(μ<20.5)

Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados de libertad

T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5

P(μ<20.5) --> P(T<2.5) ~ t(24)

P(T<2.5) = 0.9902

P(μ<20.5)=0.9902

La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea inferior a 20.5 mm es del 99.02%

Bibliografía

http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo4/B0C4m1t4.htm

http://www.vitutor.net/1/55.html

http://www.uv.es/webgid/Descriptiva/43_normal.html

http://www.matematicasypoesia.com.es/Estadist/ManualCPE04p2.htm

https://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090816224241AAZSTMJ